北京大学-431金融学综合-2024年-解析

北京大学-431金融学综合-2024年

2024统计部分解析

一、(20分) 某研究员想要了解某种特定培训对金融分析师预测精度的影响。选取了10位金融分析师，在接受特定培训前后，分别记录他们对某股票未来价格的预测误差。以下是这10位分析师在接受培训前后对同一股票价格预测的平均误差（单位：美元）：

分析师编号	培训前误差	培训后误差
1	2.5	2.0
2	3.0	2.7
3	1.8	1.5
4	2.0	1.6
5	2.3	2.1
6	1.5	1.2
7	2.2	2.0
8	2.8	2.4
9	1.7	1.3
10	2.6	2.2

Remark: 原题是关于睡眠质量的问题, 这里是我们生成的数据.

请检验这种培训是否对金融分析师的预测误差有显著影响, 其中显著性水平为 0.05.

Solution: 考虑配对样本$t$检验.

根据计算结果，差值的平均值为 0.34 美元，标准差为 0.097 美元，计算得到的 $t$ 值为 11.13. 在自由度为 9 和显著性水平为 0.05 的等尾检验中，临界值为 2.26. 由于计算得到的 $t$ 值远大于临界值，我们拒绝原假设，认为培训对金融分析师的预测误差有显著性影响.

Remark: 原题是关于睡眠质量的问题, 这里是我们生成的数据.

二、(20分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的独立样本, 且 $\mu,\sigma^2$ 未知, 已知有$P(X>a)=0.05$, 求 $a$ 的 MLE.

Solution: 直接计算有

$$\begin{aligned} P(X>a)= P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{a-\mu}{\sigma}\right)=0.05 \end{aligned}$$

从而有

$$\frac{a-\mu}{\sigma}=u_{0.95} \Rightarrow a = \mu + u_{0.95} \sigma.$$

由极大似然估计的不变性可知

$$\hat{a} = \bar{X} +u_{0.95} S_n.$$

三、(15分) 设 $X,Y$ 独立服从 $N(0,1)$, 求 $E\max\{X,Y\}$.

Solution:

茆书原题. 考虑$\max\{X,Y\}=\frac{X+Y+|X-Y|}{2}$. 从而有 $E\max\{X,Y\}=E|X-Y|/2$.
由经典结论, 若$Y\sim N(0,\sigma^2)$, 有$E\left| Y \right|=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sigma$; 更一步(见2023复旦432第三题), 若$Y\sim N(\mu,\sigma^2)$, 有$E\left| Y \right|=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sigma e^{-\frac{\mu^2}{2\sigma^2}}+\mu\left( 2\Phi \left( \frac{\mu}{\sigma} \right) -1 \right)$ .
而$X-Y\sim N(0,2)$. 故有$E\max\{X,Y\}=E|X-Y|/2=1/\sqrt{\pi}$.

四、(15分) 利用统计方法求极限:

$$\lim \limits_{n\to \infty} 3^n \int_{0}^{\infty} \cdots \int_{0}^{\infty} \cos \left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) e^{-3\left(x_1+\cdots+x_n\right)} \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_n.$$

Solution:

考虑服从期望为1/3的指数分布i.i.d.随机变量$X_1,\cdots,X_n$, 原极限为

$$I = \lim \limits_{n\to \infty} E\left[ \cos \left(\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right) \right],$$

根据大数定律, 有 $Y_n = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} \xrightarrow{P} 1/3$, 故也有 $\cos Y_n \to \cos \frac{1}{3}$. 由于 $\cos x$ 函数有界, 根据控制收敛定理, 有

$$I = \lim \limits_{n\to \infty} E\left[ \cos Y_n \right] = E\left[ \lim \limits_{n\to \infty} \cos Y_n \right] = \cos \frac{1}{3}.$$

2024微观部分解析

一、(20 分) 一个人作两期消费决策，第一期收入为 2，消费者在第 $t$ 期的效用函数为 $u = \ln(c_t)$，消费者的折现率为 1，可以通过投资平滑过度到下一期。

1. (10 分) 若第二期收入为 1，可购买利率为10% 的无风险国债，问消费者买多少国债最优？

2. (10 分) 若第二期收入不确定，50% 概率为 2，50% 概率为 0，问买多少国债最优？

Solution：

(1) 确定性情形

设第一期的收入为 $y_1 = 2$，第二期的收入为 $y_2 = 1$，且无风险国债的收益率为 $r = 0.1$。
消费者的第一期消费为 $c_1$，第二期消费为 $c_2$，投资国债的金额为 $b$。

第一期的消费为：

$$c_1 = 2 - b$$

第二期的消费为：

$$c_2 = 1 + 1.1b$$

目标函数为：

$$\max_{b} \ln(2 - b) + \ln(1 + 1.1b)$$

对 $b$ 求导并令其等于 0，解得：

$$b = \frac{1.2}{2.2} \approx 0.545$$

因此，消费者应投资约 $0.545$ 个单位的收入在无风险国债中。

(2) 不确定性情形

当第二期收入不确定时，消费者在第一期的收入为 $y_1 = 2$，第二期有 50% 的概率收入为 $2$，50% 的概率收入为 $0$，无风险国债的收益率仍为 $r = 0.1$。

消费者的第一期消费为 $c_1$，第二期消费分别为：

$$c_2^1 = (2 - c_1)(1 + r) + 2, \quad c_2^2 = (2 - c_1)(1 + r)$$

期望效用函数为：

$$\mathbb{E}(u) = \ln(c_1) + \frac{1}{2} \ln(c_2^1) + \frac{1}{2} \ln(c_2^2)$$

将 $c_2^1$ 和 $c_2^2$ 代入，化简后期望效用函数为：

$$\max_{c_1} \ln(c_1) + \frac{1}{2} \ln((2 - c_1)(1 + r) + 2) + \frac{1}{2} \ln((2 - c_1)(1 + r))$$

对 $c_1$ 求导并令其等于 0：

$$\frac{1}{c_1} + \frac{1 + r}{2((2 - c_1)(1 + r) + 2)} - \frac{1 + r}{2(2 - c_1)(1 + r)} = 0$$

解得 $c_1$ 的最优值为：

$$c_1^* = \frac{24 - \sqrt{114}}{11}$$

消费者应投资的金额为：

$$s^* = 2 - c_1^* = \frac{-2 + \sqrt{114}}{11}$$

结论：
在不确定情形下，消费者的最优投资国债金额为：

$$\frac{-2 + \sqrt{114}}{11}$$

二、 (15 分) 有 4 个生产同质产品的厂家，单位商品成本（边际成本）为 10，一个代表性的消费者购买 $X$ 单位该产品得到的效用为$20x - 5x^2$。

1. (5 分) 若各厂商独立决策并追求利润最大化，问此时的总供给。

2. (5 分) 若各厂商合谋追求利润最大化，问此时的总供给。

3. (5 分) 问题 (1) 和 (2) 中总消费者剩余相差多少？并解释为什么消费者剩余会有差别。

Solution：

(1) 消费者最优需求量

消费者的效用函数为：

$$U(x) = 20x - 5x^2 - px$$

边际效用为：

$$MU(x) = \frac{dU(x)}{dx} = 20 - 10x - p = 0$$

解得：

$$x^* = 2 - \frac{p}{10}$$

因此，消费者的最优需求量 $x^*$ 随价格 $p$ 的变化而变化。

市场价格由市场需求函数给出，假设市场上有 4 个厂商，采用古诺模型，每个厂商的产量为：

$$x_i^* = \frac{1}{5}, \quad i = 1, 2, 3, 4$$

总产量为：

$$x_s = 4 \times \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$

(2) 合谋情况下的供给量：

在合谋的情况下，厂商作为一个整体最大化利润。总利润函数为：

$$\pi = p \cdot X - MC \cdot X = (20 - 10X) \cdot X - 10X$$

展开简化为：

$$\pi = 10X - 10X^2$$

对利润函数求导以最大化利润：

$$\frac{d\pi}{dX} = 10 - 20X = 0$$

解得：

$$X^* = 0.5$$

因此，合谋情况下的总供给量为：

$$X = 0.5$$

(3) 古诺模型下的消费者剩余：

古诺模型下，总产量 $X = \frac{4}{5}$，对应的价格为：

$$p = 20 - 10 \times \frac{4}{5} = 12$$

消费者剩余为：

$$CS = \int_0^{4/5} (20 - 10x - 12) dx = \int_0^{4/5} (8 - 10x) dx$$

计算得：

$$CS = \left[ 8x - 5x^2 \right]_0^{4/5} = 8 \times \frac{4}{5} - 5 \times \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{5} = 3.2$$

合谋情况下的消费者剩余：

合谋情况下，总产量 $X = 0.5$，对应的价格为：

$$p = 20 - 10 \times 0.5 = 15$$

消费者剩余为：

$$CS = \int_0^{0.5} (20 - 10x - 15) dx = \int_0^{0.5} (5 - 10x) dx$$

计算得：

$$CS = \left[ 5x - 5x^2 \right]_0^{0.5} = 2.5 - 1.25 = 1.25$$

消费者剩余的差异为：

$$\Delta CS = 3.2 - 1.25 = 1.95$$

合谋情况下，厂商通过减少产量提高了市场价格，这导致消费者支付更高的价格，消费者剩余因此减少。

三、 (20 分) 已知有两个股票投资者，可以选择卖空或者放弃，卖空成本为 100，放弃成本为 0。若两者都卖空，每人可获利 200，若只有一个卖空者或无人卖空（有一人放弃或两人均放弃时），则二者收益均为 0。

1. (10 分) 若二者同时决策，求纳什均衡。

2. (10 分) 若二者先后决策且后决策者能看到前者的决策，求子博弈完美均衡。

Solution：

(1) 博弈矩阵分析

博弈矩阵如下：

	B: 卖空	B: 放弃
A: 卖空	$(100, 100)$	$(-100, 0)$
A: 放弃	$(0, -100)$	$(0, 0)$

1. 纯策略纳什均衡

在纯策略下，我们寻找每个玩家的最佳反应：

• 如果 A 选择“卖空”，B 的收益为：选择“卖空”得到 100，选择“放弃”得到 0，因此 B 会选择“卖空”。
• 如果 A 选择“放弃”，B 的收益为：选择“卖空”得到 -100，选择“放弃”得到 0，因此 B 会选择“放弃”。

类似地，A 会基于 B 的选择做出相同的决策。

通过分析，(A: 卖空, B: 卖空) 和 (A: 放弃, B: 放弃) 是博弈中的两个纯策略纳什均衡。

2. 混合策略纳什均衡

假设 A 以概率 $p$ 选择卖空，B 以概率 $q$ 选择卖空。我们需要使得 A 和 B 在选择“卖空”和“放弃”时的期望收益相等。

对玩家 A，选择卖空时的期望收益为：

$$100q - 100(1 - q) = 200q - 100.$$

选择放弃时的期望收益为$0$：

令两者相等，得到：

$$200q - 100 = 0$$

解得 $q = \frac{1}{2}$。

对玩家 B，选择卖空时的期望收益为：

$$100p - 100(1 - p) = 200p - 100.$$

选择放弃时的期望收益为$0$：

令两者相等，得到：

$$200p - 100 = 0$$

解得 $p = \frac{1}{2}$。

因此，混合策略纳什均衡是 $p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2}$，即 A 和 B 各以 50% 的概率选择卖空或放弃。

(2) 子博弈完美均衡

现在假设投资者 A 先做决策，B 可以观察到 A 的决策后再做出反应。我们使用逆推归纳法求解子博弈完美均衡。

1. B 的决策

B 在观察到 A 的决策后可以做出反应：

• 如果 A 选择卖空，B 有两种选择：

  • 选择卖空，B 的净收益为 100。
  • 选择放弃，B 的净收益为 0。

  因此，如果 A 选择卖空，B 会选择卖空。

• 如果 A 选择放弃，B 有两种选择：

  • 选择卖空，B 的净收益为 -100（因为独自卖空）。
  • 选择放弃，B 的净收益为 0。

  因此，如果 A 选择放弃，B 会选择放弃。

2. A 的决策

A 知道 B 的反应，A 的决策如下：

• 如果 A 选择卖空，B 也会卖空，A 的净收益为 100。
• 如果 A 选择放弃，B 也会放弃，A 的净收益为 0。

因此，A 会选择卖空，因为卖空时的收益（100）大于放弃时的收益（0）。

根据逆推归纳法，子博弈完美均衡为：

• A 选择卖空。
• B 看到 A 卖空后也选择卖空。

子博弈完美均衡是 {卖空, (卖空,放弃)}

四、 (20 分) 已知公司运行新项目需要投资 100，项目净现值 NPV 为 $b$，公司当前固定资产总值为 $a$，需要向公众股权融资。公司可能处于以下两种状态之一：状态一：$a = 400, b = 30$；状态二：$a = 100, b = 10$。公司能够知道自己当前处于的状态，股票市场的投资者认为公司处于两种状态的概率均为 50%（具体情况只有公司知道，投资者无法判断，公司和投资者均为风险中性）。

1. (10 分) 若公司无论如何都在股票市场融资，那么公司的定价应为多少？

2. (10 分) 在 (1) 的条件下，在状态一时公司会选择股票融资吗？状态二呢？请解释原因。

Solution：

(1) 市场对公司股票的定价

假设公司无论处于状态一还是状态二都进行融资，市场投资者会根据公司处于状态一或状态二的概率对公司进行估值。

状态一：

公司当前资产为 $a = 400$，项目的净现值为 $b = 30$，因此公司在状态一的总价值为：

$$V_1 = a + b +100= 400 + 30+100 = 530$$

状态二：

公司当前资产为 $a = 100$，项目的净现值为 $b = 10$，因此公司在状态二的总价值为：

$$V_2 = a + b+100 = 100 + 10+100 = 210$$

投资者的定价：

由于投资者无法判断公司处于哪种状态，只能根据概率进行估计。公司处于状态一和状态二的概率均为 50%，因此投资者的预期公司价值为：

$$\mathbb{E}(V) = 0.5 \times V_1 + 0.5 \times V_2 = 0.5 \times 530 + 0.5 \times 210 = 265 + 105 = 370$$

因此，投资者将公司的定价设为 $370$。

注意，此题考虑$370$是更为正确的，270则应该会扣部分分数，这是由于题干已经说明“无论如何都要融资”，而只有融资后才会进行投资随后获得收益，所以计算融资后的价值也是恰当的。如果融资前的价值，那么更应该是$200+50=250$，但这并没有用到投资收益，所以不是想要的结果。

(2) 公司是否选择融资

我们分别分析公司在状态一和状态二下是否会选择融资。
首先判断，如果投资者要融资，他们预期拿到多少股权？
不难计算得到$\frac {100}{370}$，即$\frac{10}{37}$

状态1：

融资后股东价值为$\frac{20}{37}\cdot 530\approx 386.8<400$
即融资后股东拥有的财富下降。

状态2：

融资后股东价值为$\frac{20}{37}\cdot 210\approx 153.2>100$
即融资后股东拥有的财富上升。

因此，公司会在状态1时选择不融资，状态2选择融资。