北京师范大学-432统计学-2025年

1. 从区间$(a,b)$取$n$个样本，给定组数$k$ （20分）

   （1）介绍绘制频率直方图的步骤.

   （2）$f(x)$为样本密度函数，任给$x，\hat{f}(x)$是$f(x)$的估计值，求$\hat{f}(x)$的均方误差.

2. $N$个球一共有$L$种颜色，第$k$种颜色球的个数为$N_k$，有放回摸球$m$次 （30分）

（1）求摸到每种颜色球个数的协方差矩阵.

（2）$X_1$为摸到第一种颜色球的个数，$X_1(n)$表示在n次摸球中摸到第一种颜色球的个数,证明:

$$P(X_1(n+1)\geq i+1)-P(X_1(n)\geq i+1)=\frac{N_1}{N}P(X_1=i)$$

（3） 证明：

$$\sum_{k=n-i}^{n} p^k(1-p)^{n-k}=\frac{\int_{0}^{p}x^{n-i-1}(1-x)^i dx}{\int_{0}^{1}x^{n-i-1}(1-x)^i dx}$$

3. 在 $U(\theta-c$，$\theta+c)$区间内取样本:$X_1,...,X_n$ （20分）

   （1）求$\theta$的矩估计和极大似然估计.

   （2）证明$\frac{X_{(1)}+X_{(n)}}{2}$是$\theta$的无偏估计.

4. $X_1,...,X_n$服从正态分布$N(\mu，{\sigma}^2)$ （20分） $H_0:\mu={\mu}_0,\quad H_1:\mu>{\mu}_0$（1）介绍假设检验原理.

   （2） 分别求在${\sigma}^2$已知和未知下的$p$值表达式和其分布.

5. 二元线性回归模型，$y_i＝\alpha+\beta x_i+\lambda z_i+\epsilon,\quad \epsilon \sim N(0,{\sigma}^2)$。（30分）

   （1）求$\beta$的极大似然估计，数学期望，方差.

   （2）如果 $y$ 写成 $x$ 的一元回归模型，求$\beta$最小二乘估计，判断其是否是无偏估计，并比较两种情况下$\beta$的方差.

6. 白噪声: ${\epsilon}_t \sim N(0,{\sigma}^2)$,$X_t=0.5X_{t-1}+{\epsilon}_t-1.1{\epsilon}_{t-1}+0.3{\epsilon}_{t-2}$ （30分）

   （1）化简模型.

   （2）化简模型是否宽平稳？求其自相关系数。